Question

已知,,,其中.

(I)若与的图像在交点(2,)处的切线互相垂直,求的值;

(II)若是函数的一个极值点,和1是的两个零点,且∈(,求;

(III)当时,若,是的两个极值点,当|-|>1时,求证:|-|>3-4.

Answer 1

【答案】(I), 

由题知,即 

解得

(II)=,

由题知,即 解得=6,=-1 

∴=6-(-),=

∵>0,由>0,解得0<<2;由<0,解得>2

∴在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)单调递减,

故至多有两个零点,其中∈(0,2),∈(2, +∞) 

又>=0,=6(-1)>0,=6(-2)<0

∴∈(3,4),故=3 

(III)当时,=,

=,

由题知=0在(0,+∞)上有两个不同根,,则<0且≠-2,此时=0的两根为-,1, 

由题知|--1|>1,则++1>1,+4>0  

又∵<0,∴<-4,此时->1

则与随的变化情况如下表:

	(0,1)	1	(1, -)	-	(-,+∞)
	-	0	+	0	-
		极小值		极大值

∴|-|=_极大值-_极小值=F(-)―F(1)

=―)+―1, 

设,则

,,∵<-4,∴>―,∴>0,

∴在(―∞,―4)上是增函数,<

从而在(―∞,―4)上是减函数,∴>=3-4

所以|-|>3-4.