Question

选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．
请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E，F，求证：EF∥BC．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知a，b∈R，若矩阵M=[

-1 b

a 3

]所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求a，b的值．
C．选修4-4：坐标系与参数方程将参数方程

x=2(t+ 1 t ) y=4(t- 1 t )

t为参数）化为普通方程．
D．选修4-5：已知a，b是正数，求证（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥92．

Answer 1

分析：A、连接OD，根据BC是⊙O的切线，可得OD⊥BC，利用AD是角平分线，可得

ED

=

FD

，从而OD⊥EF；
B、根据变换的性质列出一组方程式，即可求解出a，b的值；
C、利用平方相减法，即可化参数方程为普通方程；
D、不等式的左边，展开利用基本不等式，即可证得．

解答：A．证明：连接OD
∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC
∵AD是角平分线，∴

ED

=

FD

，∴OD⊥EF
∴EF‖BC
B．解：设P（x，y）为直线2x-y=3上任意一点其在M的作用下变为（x'，y'）
则利用矩阵的乘法可得：x′=-x+ay，y′=bx+3y  代入2x-y=3得：-（b+2）x+（2a-3）y=3其与2x-y=3完全一样．
故得

-b-2=2 2a-3=-1

，∴b=-4，a=1  
C．解：由

x=2(t+ 1 t ) y=4(t- 1 t )

可得

x 2 =t+ 1 t ① y 4 =t- 1 t ②

①²-②²可得

x2

4

-

y2

16

=4，∴

x2

16

-

y2

64

=1
D．证明：（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）=2ab+

1

2ab

+2+

1

2

∵a，b是正数，∴2ab+

1

2ab

≥2
∴2ab+

1

2ab

+2+

1

2

≥

9

2

∴（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥

9

2

点评：本题考查选修知识，考查几何证明选讲、矩阵变换、参数方程、不等式的证明，知识点较多．