Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中:

①设A、B为两个定点，k为非零常数，||-||=k，则动点P的轨迹为双曲线；

②过定圆C上一定点A作该圆的动弦AB，O为坐标原点，若=(+),则动点P的轨迹为椭圆；

③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线=1与椭圆=1有相同的焦点.

其中真命题的序号为_________.（写出所有真命题的序号）

Answer 1

③④

解析:据双曲线的定义否定①;

以C为原点，半径为r的圆，设A(r,0),B(x₀,y₀),圆C方程为x²+y²=r²,P(x,y),则=(+),(x,y)=(r+x₀,y₀),得

∴(2x-r)²+(2y)²=r²,

即(x-)²+y²=()².否定②;

由2x²-5x+2=(2x-1)(x-2)=0,得x=或x=2,肯定③;

由=1,得焦点F₁(,0),F₂(-,0).

由+y²=1,得焦点F₁′(,0),F₂(-,0),肯定④.