Question

已知函数f(x)=3ax⁴-2(3a+1)x²+4x，
(Ⅰ)当a=时，求f(x)的极值；
(Ⅱ)若f(x)在（-1，1）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=4(x-1)(3ax²+3ax-1)，
当a=时，f′(x)=2(x+2)(x-1)²，
当x＜-2时，f′(x)＜0，当x＞-2时，f′(x)＞0，
∴f(x)在（-∞，-2）内单调减，在（-2，+∞）内单调增，
∴在x=-2时，f(x)有极小值，
所以，f（-2）=-12是f(x)的极小值． 
(Ⅱ)在（-1，1）上，f(x)单调增加当且仅当f′(x)=4(x-1)(3ax²+3ax-1)≥0，
即3ax²+3ax-1≤0，① 
(ⅰ)当a=0时①恒成立；
(ⅱ)当a＞0时①成立，当且仅当3a·1²+3a·1-1≤0，解得；
(ⅲ)当a＜0时①成立，即成立，
当且仅当，解得；
综上，a的取值范围是。