Question

如图，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面边长为2，侧棱长为3，E为BC的中点，FG分别为CC′、DD′上的点，且CF=2GD=2．求：
（Ⅰ）C′到面EFG的距离；
（Ⅱ）DA与面EFG所成的角的正弦值；
（III）在直线BB'上是否存在点P，使得DP∥面EFG？，若存在，找出点P的位置，若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系
则E（1，2，0），F（0，2，2），G（0，0，1）
∴=（-1，0，2），=（0，-2，-1），
设=（x，y，z）为面EFG的法向量，则=0，=0，
?x=2z，z=-2y，取y=1，
得=（-4，1，-2）…（4分）
（Ⅰ）∵=（0，0，-1），
∴C’到面EFG的距离为…（6分）
（Ⅱ）=（2，0，0），设DA与面EFG所成的角为θ，
则=． …（10分）
（ III）存在点P，在B点下方且BP=3，此时P（2，2，-3）
=（2，2，-3），∴=0，∴DP∥面EFG．…（14分）
分析：（I）以D为原点建立空间直角坐标系，并求出面EFG的一个法向量，及面EFG上任一点与C′连线的方向向量，代入公式中，即得到C′到面EFG的距离；
（Ⅱ）求出DA的方向向量，结合（I）中所求的面EFG的法向量的坐标，代入向量夹角公式，即可得到DA与面EFG所成的角的正弦值；
（III）设出P点坐标，求出DP的方向向量，根据DP∥面EFG，则=0，可以构造关于P点坐标的方程组，解方程组，即可得P点坐标．
点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，直线与平面平行的判定，点到平面的距离计算，其中由于三个小题的结论均与面EFG有关，故求出平面EFG的法向量是解答本题的关键．