Question

在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且

b

2

=

a

2

-ac+

c

2

，C-A=90°，则cosAcosC=（　　）

• A．

  1

  4

• B．-

  1

  4

• C．

  2

  4

• D．-

  2

  4

Answer 1

分析：根据余弦定理，结合已知条件边的平方关系可得B=60°，再由三角形内角和定理结合C-A=90°，解得A=15°，C=105°．由此结合特殊角的三角函数值及和与差的余弦公式公式，不难算出cosAcosC的值．

解答：解：∵在△ABC中，

b

2

=

a

2

-ac+

c

2

∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

结合B∈（0°，180°），得B=60°
∵C-A=90°，C+A=180°-B=120°
∴C=105°，A=15°，
得cosA=cos（45°-30°）=

6 + 2

4

，cosC=cos（45°++60°）=

2 - 6

4

∴cosAcosC=

6 + 2

4

•

2 - 6

4

=-

1

4

故选：B

点评：本题在△ABC中，已知边的平方关系和两角之差，求两个角的余弦之积，着重考查了运用余弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式和特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．