Question

已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（3）求f（x）的值域；
（4）解不等式f(x)＞

7

9

．

Answer 1

分析：（1）用定义判断函数的奇偶性．其步骤为先判断定义域的对称性，再判断f（x）与f（-x）的关系，另外注意本题书写的格式---先判断后证明．
（2）用定义判断函数的单调性，其步骤是任取两个自变量，对其函数值作差，判断其符号，得出单调性结论，注意本题书写的格式---先判断后证明．
（3）由（2）的结论求值域，求此类函数的值域时，注意到分子与分母是齐次式，故一般采取先分离常数，求值域．
（4）利用单调性解不等式，本题为增函数，故找出函数值为

7

9

的自变量，即可求出其解集．此为解不等式的一类常用方法．

解答：解：（1）f（x）为奇函数．
因为f（x）的定义域为R，对?x∈R
∵f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（2）f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
∵对-∞＜x₁＜x₂＜+∞，2x1-2x2＜0，
f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

又f(x1)-f(x2)=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0；
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
（3）∵f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴f（x）∈（-1，1）．
（4）∵f(3)=

7

9

；
又∵f(x)＞

7

9

即为f（x）＞f（3）；
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
∴不等式f(x)＞

7

9

的解集为{x|x＞3}

点评：本题综合考查了函数的性质，考查全面，一题多考，知识覆盖面广，技能性强．