Question

如图，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE．
（Ⅰ） 求证：AB⊥平面ADE；
（Ⅱ）设M是线段BE上一点，当直线AM与平面EAD所成角的正弦值为

6

3

时，试确定点M的位置．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AE⊥平面CDE，知AE⊥CD，在正方形ABCD中，由CD⊥AD，知CD⊥平面ADE，由此能证明AB⊥平面ADE．
（Ⅱ）由平面EAD⊥平面ABCD，取AD中点O，连接EO，则EO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，利用向量法能够确定点M的位置．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面EAD⊥平面ABCD，取AD中点O，连接EO．
∵EA=ED，∴EO⊥AD，
∴EO⊥平面ABCD．
建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，0，1）．
设M（x，y，z）．
∴

BM

=（x-1，y-2，z），

BE

=(-1，-2，1)，
∵B，M，E三点共线，设

BM

=λ

BE

，
∴M（1-λ，2-2λ，λ），

AM

=(-λ，2-2λ，λ)，
设AM与平面AED所成角为θ，
∵平面AED的一个法向量

n

=(0，1，0)，
∴sinθ=|cos＜

AM

，

n

＞|=

|2-2λ|

6λ2-8λ+4

=

6

3

，
解得λ=

1

2

．故M是BE中点．

点评：本题考查直线垂直于平面的证明，考查点的位置的确定．解题时要认真审题，注意等价转化思想和向量法的合理运用．