Question

已知函数f（x）=alnx++1．
（Ⅰ）当a=-时，求f（x）在区间[，e]上的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当-1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（-a）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=-时，，∴．
∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．---------------------------（2分）
∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，
而f（1）=，f（）=，f（e）=，
∴f（x）_max=f（e）=，f（x）_min=f（1）=．---------------------------（4分）
（Ⅱ），x∈（0，+∞）．
①当a+1≤0，即a≤-1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；-------------（5分）
②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；----------------（6分）
③当-1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）
∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；--------------------（8分）
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当-1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤-1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；-----------------------（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当-1＜a＜0时，f（x）_min=f（）
即原不等式等价于f（）＞1+ln（-a）--------------------------（10分）
即aln+-+1＞1+ln（-a）
整理得ln（a+1）＞-1
∴a＞-1，----------------------------（11分）
又∵-1＜a＜0，∴a的取值范围为（-1，0）．---------------------------（12分）
分析：（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[，e]上的最值；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当-1＜a＜0时，f（x）_min=f（），即原不等式等价于f（）＞1+ln（-a），由此可求a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，确定函数的单调性，求函数的最值是关键．