Question

(13分)在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成,在上定义一个运算,记为,对于中的任意两个元素,,规定:.
(1)计算:;
(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律,并给出证明;
(3)若“中的元素”是“对,都有成立”的充要条件,试求出元素.

Answer 1

(1) . (2)交换律:,证明见解析；(3) .

这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．
（1）由已知α⊙β=（ad+bc，bd-ac），将：（2，3）⊙（-1，4）中参与运算的两个元素代入易得答案．
（2）根据已经学过的数、向量等的交换率，类比给出⊙运算的交换率，结合⊙的定义，不难证明．
（3）根据充要条件的定义，结合⊙的定义，不难得到一个关于I=（x，y）的方程组，解方程组，即可得到答案．
解:(1) . ………3分
(2)交换律:,      ………4分
证明如下:设,,则,
==.
∴.              ………  8分                 
(3)设中的元素,对,都有成立,
由(2)知只需,即 
①若,显然有成立;     
②若,则,解得,        
∴当对,都有成立时,得,
易验证当时,有对,都有成立………13分
∴.