Question

设函数f(x)=cosxsinφ-2sinxsin2

φ

2

+sinx(0＜φ＜x)在x=π处取最小值．
（1）求φ的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=

2

，f(A)=

3

2

，求角C的大小．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=cosxsinφ-2sinxsin2

φ

2

+sinx转化为f（x）=sin（x+φ），利用f（π）=-1，0＜φ＜π即可求得φ的值；
（2）由f（A）=

3

2

可求得A，再利用正弦定理可求得B，从而可求得C．

解答：解：（1）f（x）=cosxsinφ-2sinxsin2

φ

2

+sinx
=cosxsinφ-2sinx

1-cosφ

2

+sinx
=sinxcosφ+cosxsinφ
=sin（x+φ）…（3分）
∵函数f（x）在x=π处取最小值，
∴sin（π+φ）=-1，
∴sinφ=1，又0＜φ＜π，
∴φ=

π

2

…（6分）
（2）由（1）知f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx，
∵f（A）=

3

2

，故cosA=

3

2

，又A为△ABC的内角，故A=

π

6

，…（8分）
又a=1，b=

2

，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

，也就是sinB=

bsinA

a

=

2

×

1

2

=

2

2

，
∵b＞a，
∴B=

π

4

或B=

3π

4

…（11分）
当B=

π

4

时，C=π-

π

6

-

π

4

=

7π

12

，
当B=

3π

4

，时，C=π-

π

6

-

3π

4

=

π

12

…（12分）

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角公式，考查正弦定理的应用，求得f（x）=cosx是关键，属于中档题．