Question

设是函数的一个极值点．

       （1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

       （2）设，．若存在使得成立，求的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）f `（x）＝－[x²＋（a－2）x＋b－a ]e^3－x,

由f `（3）=0，得 －[3²＋（a－2）3＋b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，---------------2分

则 f `（x）＝[x²＋（a－2）x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²＋（a－2）x－3－3a ]e^3－x＝－（x－3）（x＋a+1）e^3－x．

令f `（x）＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是极值点，

所以，那么a≠－4．

当a<－4时，x₂>3＝x₁，则

在区间（－∞，3）上，f `（x）<0， f （x）为减函数；

在区间（3，―a―1）上，f `（x）>0，f （x）为增函数；

在区间（―a―1，＋∞）上，f `（x）<0，f （x）为减函数．-----------------------4分

当a>－4时，x₂<3＝x₁，则

在区间（－∞，―a―1）上，f `（x）<0， f （x）为减函数；

在区间（―a―1，3）上，f `（x）>0，f （x）为增函数；

在区间（3，＋∞）上，f `（x）<0，f （x）为减函数．-------------------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f （x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f （x）在区间[0，4]上的值域是[min{f （0），f （4） }，f （3）]，

而f （0）＝－（2a＋3）e³<0，f （4）＝（2a＋13）e^－1>0，f （3）＝a＋6，

那么f （x）在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e³，a＋6]．--------------------8分

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a²＋，（a²＋）e⁴]，-----------------10分

由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝（）²≥0，所以只须仅须

（a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<．

故a的取值范围是（0，）．-----------------------------------------------12分