Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知向量

m

=(cosB，sinB)，

n

=(sinC-2sinA，cosC)，且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=7，b=

13

，求

BA

•

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）根据

m

⊥

n

与

m

、

n

的坐标，利用向量数量积公式与三角恒等变换化简整理，得到sinA（1-2cosB）=0，从而算出cosB=

1

2

，可得角B的大小；
（2）根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，可得a²+c²-ac=13，与a+c=7联解得到ac=12．再由向量数量积的公式加以计算，即可得到

BA

•

BC

的值．

解答：解：（1）∵

m

=(cosB，sinB)，

n

=(sinC-2sinA，cosC)，

m

⊥

n

，
∴cosB（sinC-2sinA）+sinBcosC=0，
即sinBcosC+cosBsinC-2sinAcosB=0，
化简得：sin（B+C）-2cosBsinA=sinA（1-2cosB）=0．
∵A∈（0，π），
∴sinA＞0，∴cosB=

1

2

，
结合B∈（0，π），可得B=

π

3

；
（2）∵b=

13

，由（1）的计算可得B=

π

3

，
∴根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
得13=a2+c2-2accos

π

3

=a2+c2-ac，…①
又∵a+c=7，平方得（a+c）²=a²+2ac+c²=49，…②
∴由①②联解，可得ac=12．
因此，

BC

•

BA

=accosB=12×cos

π

3

=6．

点评：本题给出以三角形内角的三角函数为坐标的向量互相垂直，求角B的大小并依此求向量的数量积．着重考查了向量的数量积、三角恒等变换公式和解三角形等知识，属于中档题．