Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x³+x+1，则f（x）在R上的解析式为

f(x)=

x3+x+1 ，x＞0 0 ，x=0 x3+x-1 ，x＜0

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Answer 1

分析：首先考虑x=0时的情况，利用奇函数的定义即可获得函数值，然后考虑x＜0时的情况，任设x∈（-∞，0），
则-x＞0，利用已知条件：当x＞0时，f（x）=x³+x+1和函数f（x）是定义在R上的奇函数，化简即可获得x＜0时的解析式．最后写成分段函数的形式即可．

解答：解：由题意可知：
当x=0时，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-0）=-f（0）=f（0），∴f（0=0）；
当x＜0时，任设x∈（-∞，0），则-x＞0，又因为：当x＞0时，f（x）=x³+x+1，
所以：f（-x）=（-x）³-x+1=-x³-x+1，又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴-f（x）=-x³-x+1，
∴f（x）=x³+x-1．
所以函数f（x）在R上的解析式为：f(x)=

x3+x+1 ，x＞0 0 ，x=0 x3+x-1 ，x＜0

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故答案为：f(x)=

x3+x+1 ，x＞0 0 ，x=0 x3+x-1 ，x＜0

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点评：本题考查的是函数的奇偶性和解析式求解的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、奇函数的定义以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．