Question

（1）若不等式|x-1|+|x-2|＞a恒成立，则实数a的取值范围为

（-∞，1）

；
（2）在极坐标下，点(2，

π

2

)到直线ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0的距离

2

2

．

Answer 1

分析：要使不等式|x-1|+|x-2|＞a恒成立，需f（x）=|x-1|+|x-2|的最小值大于a，问题转化为求f（x）的最小值．
把极坐标方程化为普通方程，把点A的极坐标化为直角坐标，利用点到直线的距离公式求出点到这条直线的距离．

解答：解：（1）设f（x）=|x-1|+|x-2|，
则有f（x）=

3-2x，x＜1 1，1≤x≤2 2x-3，x＞2

，
当x＜1时，f（x）＞1；
当1≤x≤2时，f（x）有最小值1；
当x＞2时，f（x）＞1；
综上f（x）有最小值1，
所以实数a的取值范围为（-∞，1）
解：直线ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0的可化为ρsinθ+ρcosθ+2=0，
化成直角坐标方程为：x+y+2=0，
点(2，

π

2

)可化（0，2），
根据点到直线的距离公式 d=

2+2

2

=2

2

，
故答案为：（-∞，1），2

2

点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想．本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，以及点到直线的距离公式的应用．解答关键是利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．