Question

13．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，A₁，B₁分别是AD，BC边上的点，且AA₁=BB₁=1，E，F分别为B₁D与AB的中点．把长方形ABCD沿直线A₁B₁折成直角二面角，且∠A₁B₁D=30°．

（1）求证：CD⊥EF
（2）求三棱锥A₁-B₁EF的体积．

Answer 1

分析 （I）证明AA₁⊥A₁B₁，取A₁B₁的中点G，边接EG，FG，推出FG⊥A₁B₁，EG⊥A₁B₁，即可证明A₁B₁⊥面EFG，然后证明CD⊥EF．
（II）通过二面角A-A₁B₁-D为直二面角，利用FG⊥面A₁B₁E，然后求解几何体的体积．

解答 解：（I）证明：因为AA₁=BB₁=1，且AA₁∥BB₁，所以四边形ABB₁A₁为矩形，故AA₁⊥A₁B₁，
取A₁B₁的中点G，边接EG，FG，因为F为AB的中点，所以AF∥A₁G，且AF=A₁G，
可得四边形AFGA₁是平行四边形，所以FG∥AA₁，故FG⊥A₁B₁，
同理可得EG⊥A₁B₁，所以A₁B₁⊥面EFG，可得A₁B₁⊥EF．
因为CD∥A₁B₁，所以CD⊥EF．（6分）
（II）因为∠A₁B₁D=30°，所以$tan{30°}=\frac{{{A_1}D}}{{{A_1}{B_1}}}=\frac{{{A_1}D}}{2}$，
可得${A_1}D=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，EG=\frac{1}{2}{A_1}D=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
因为二面角A-A₁B₁-D为直二面角，由（I）可知FG⊥面A₁B₁E，
所以${V_{{A_1}-{B_1}EF}}={V_{F-{A_1}{B_1}E}}=\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}×2=\frac{{\sqrt{3}}}{9}$（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力以及空间想象能力．