Question

(1)求证：函数y＝f(x)的图象关于点(0.5，－0.5)对称；

(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值；

Answer 1

答案：
解析：

(1)设P(x，y)是y＝f(x)的图象上任意一点， 　　关于(0.5，－0.5)对称点的坐标为：(1－x，－1－y) 　　 　　 　　∴－1－ｙ＝f(1－x)，即函数ｙ＝f(x)的图象关于点(0.5，－0.5)对称． 　　(2)由(Ⅰ)有f(1－x)＝－1－f(x)即f(x)＋f(1－x)＝－1 　　∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1 　　则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3 　　 　　下面用数学归纳法证明 　　当n＝1时，左＝3，右＝1，3＞1不等式成立 　　当n＝2时，左＝9，右＝4，9＞4不等式成立 　　令n＝k(k≥2)不等式成立即3k＞k2 　　则n＝k＋1时，左＝3k＋1＝3·3k＞3·k2 　　右＝(k＋1)2＝k2＋2k＋1 　　∵3k2－(k2＋2k＋1)＝2k2－2k－1＝2(k－0.5)2－1.5 　　当k≥2，k∈N时，上式恒为正值 　　则左＞右，即3k＋1＞(k＋1)2，所以对任何自然数n，总有3n＞n2成立，即对任何自然数n，总有bn＞n2成立