Question

已知函数f(x)=sin

x

2

•cos

x

2

+

3

sin2

x

2

-

3 +1

2

（1）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）首先对函数进行降幂，逆用二倍角公式，再利用辅角公式，写成三角函数的可以求解性质的标准形式，做出周期和对称轴方程．
（2）根据上一问做出的结果和这一问所给的函数的自变量的取值，写出函数式种角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=sin

x

2

•cos

x

2

+

3

sin2

x

2

-

3 +1

2

=(

1

2

sinx-

3

2

cosx)-

1

2

=sin(x-

π

3

)-

1

2

，
∴函数f（x）的最小正周期为2π
由x-

π

3

=kπ+

π

2

，得x=kπ+

5π

6

，k∈z
∴函数f（x）图象的对称轴方程为x=kπ+

5π

6

，k∈z
（2）由（1）得：f(x)=sin(x-

π

3

)-

1

2

∵x∈[0，π]，所以x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
于是-

3

2

≤sin(x-

π

3

)≤1
∴函数f（x）的值域为[-

3 +1

2

，

1

2

]

点评：本题考查三角函数的恒等变形和性质的运算，解题的关键是前面整理函数的式子不要出错，不然后面的结果都是错误的．