题目内容
（选做题）已知x2+3y2+4z2=2，求证：|x+3y+4z|≤4．
【答案】分析：分析题目已知x2+3y2+4z2=2，求证：|x+3y+4z|≤4．考虑到应用柯西不等式（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2），首先构造出柯西不等式求出（x+3y+4z）2的最大值，开平方根即可得到答案．
解答：证明：因为已知x2+3y2+4z2=2根据柯西不等式（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）构造得：
即（x+3y+4z）2≤（x2+3y2+4z2）（12+
2+22）≤2×8=16
故：|x+3y+4z|≤4．
点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于此类题目有很多解法，但大多数比较繁琐，而用柯西不等式求解非常简练，需要同学们注意掌握．
解答：证明：因为已知x2+3y2+4z2=2根据柯西不等式（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）构造得：
即（x+3y+4z）2≤（x2+3y2+4z2）（12+
2+22）≤2×8=16故：|x+3y+4z|≤4．
点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于此类题目有很多解法，但大多数比较繁琐，而用柯西不等式求解非常简练，需要同学们注意掌握．
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