Question

（2013•丰台区一模）已知函数f(x)=

1

x+a

，g（x）=bx²+3x．
（1）设函数h（x）=f（x）-g（x），且h（1）=h′（1）=0求a，b的值；
（2）当a=2且b=4时，求函数φ(x)=

g(x)

f(x)

的单调区间，并求该函数在区间（-2，m]（-2＜m≤

1

4

）上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求函数h（x）=f（x）-g（x）的导数，再利用h（1）=h′（1）=0建立关于a，b的方程组，即可求出a，b的值；
（2）根据函数的单调性与导数的关系，令导数φ′（x）＞0（或＜0），解不等式即可求出其单调递增区间和单调递减区间，从而求出其最大值．

解答：解：（1）函数h（x）定义域为{x|x≠-a}，…（1分）
则h′(x)=f′(x)-g′(x)=-

1

(x+a)2

-2bx-3，…（3分）
因为

h(1)=0 h′(1)=0.

所以

1 1+a -b-3=0 - 1 (1+a)2 -2b-3=0.

解得，

a=0 b=-2

或

a=- 4 3 b=-6.

…（6分）
（2）记φ（x）=

g(x)

f(x)

，则φ（x）=（x+a）（bx²+3x）（x≠-a），
∵因为a=2，b=4，所以φ（x）=（x+2）（4x²+3x）（x≠-2），…（7分）
φ'（x）=12x²+22x+6=2（2x+3）（3x+1），
令φ'（x）=0，得x=-

3

2

，或x=-

1

3

，…（8分）
当x＜-

3

2

，或x＞-

1

3

时，φ'（x）＞0，
当-

3

2

＜x＜-

1

3

时，φ'（x）＜0，
∴函数φ（x）的单调递增区间为(-∞，-2)，(-2，-

3

2

)，(-

1

3

，+∞)，单调递减区间为(-

3

2

，-

1

3

)，…（10分）
①当-2＜m＜-

3

2

时，φ（x）在（-2，m）上单调递增，
∴其最大值为φ（m）=4m³+11m²+6m，…（12分）
②当-

3

2

≤m≤

1

4

时，φ（x）在（-2，-

3

2

）上单调递增，在（-

3

2

，-

1

3

）上单调递减，在（-

1

3

，m）上单调递增，而φ（-

3

2

）=φ（

1

4

）=

9

4

，
∴φ（x）的最大值为

9

4

．…（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和闭区间上函数的最值问题，根据函数的导数求出函数的解析式是解题的关键，增加了题目的难度，考查运算能力和逆向思维能力，属中档题．