题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数g（x）=xf（x）+tf'（x）+e^-x（t∈R）．是否存在实数a、b、c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c）？若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$
当x≥0时， $\text{[math]}$ ，函数在区间（0，+∞）上为减函数；当x＜0时， $\text{[math]}$ ，函数在区间（-∞，0）上为增函数
（Ⅱ）假设存在a，b，c∈[0，1]使得g（a）+g（b）＜g（c），2[g（x）]_min＜[g（x）]_max∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，∴2g（1）＜g（0）即 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
②当t≤0时，g′（x）≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，∴2g（0）＜g（1）即 $\text{[math]}$ 得t＜3-2e＜0，
③当0＜t＜1时，在x∈[0，t），
g′（x）＜0，g（x）在[0，t]上单调递减，
在x∈（t，1]，g′（x）＞0，g（x）在[t，1]上单调递增，
此时g（x）的最小值为g（t），最大值为max{g（0），g（1）}，
∴2g（t）＜max{g（0），g（1）}，即 $\text{[math]}$ （★） …（13分）
由（1）知 $\text{[math]}$ 在t∈[0，1]上单调递减，故 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，∴不等式（★）无解 …（15分）
综上所述，存在 $\text{[math]}$ ，使得命题成立．
分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数小于（等于）0，求得函数的单调减区间；利用导数大于（等于）0，求得函数的单调增区间；
（Ⅱ）假设存在a，b，c∈[0，1]使得g（a）+g（b）＜g（c），则问题转化为2[g（x）]_min＜[g（x）]_max，对t进行讨论，确定函数的单调性，从而确定函数的最值，进而确定实数t的取值范围．
点评：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，求函数的最值，注意分类讨论思想的运用，属于中档题．