Question

已知二次函数f（x）和一次函数g（x）的图象都经过原点，且f（x+1）=f（x）+2x，g(x)-g(x-1)=

1

4

．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式：f(x)＜

1

g(x)

．

Answer 1

（1）∵二次函数f（x）和一次函数g（x）的图象都经过原点，
∴设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）
又∵f（x+1）=f（x）+2x，
即a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+2x
即2ax+a+b=2x
解得a=1，b=-1
故f（x）=x²-x
设一次函数g（x）=kx（k≠0）
∵g(x)-g(x-1)=

1

4

．
∴kx-k（x-1）=

1

4

即k=

1

4

故g（x）=

1

4

x
（2）不等式：f(x)＜

1

g(x)

．
可化为x²-x＜

4

x

即

x(x2-x)-4

x

＜0
即

x3-x2-4

x

＜0
即x（x³-x²-4）＜0
即x（x-2）（x²+x+2）＜0
解得0＜x＜2
故关于x的不等式：f(x)＜

1

g(x)

解集为（0，2）