Question

已知函数f（x）=

1

1+x

，正项数列{a_n}满足a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，则a₁=

-1+ 5

2

．

Answer 1

分析：先求出a₂₀₁₁的值，再计算a₂₀₀₉，由此发现规律，即可得到结论．

解答：解：∵函数f（x）=

1

1+x

，正项数列{a_n}满足a_n+2=f（a_n），
∴a_n+2=

1

1+an

取n=2011，∵a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，∴a₂₀₁₁=

1

1+a2011

所以（a₂₀₁₁）²+a₂₀₁₁-1=0，
∴a₂₀₁₁是方程x²+x-1=0的根，a₂₀₁₁＞0
∴a₂₀₁₁=

-1+ 5

2

∵a_n+2=

1

1+an

，∴a_n=

1

an+2

-1
∴a₂₀₀₉=

1

a2011

-1=

-1+ 5

2

依此类推可得a₁=

-1+ 5

2

故答案为：

-1+ 5

2

点评：本题考查数列与函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．