Question

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x₁、x₂满足关系：f(x₁＋x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)＋2

(1)求f(0)的值；

(2)证明：f(x)的图象关于点(0，－2)成中心对称图形；

(3)若x＞0，则有f(x)＞－2，求证：f(x)在R上是增函数．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在关系式f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋2中令，x1＝x2＝0得f(0)＝－2　　2分 　　(2)证明：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上的任一点，即y0＝f(x0)点P关于点(0，－2)对称的点　　3分 　　下面证明，下面证明点在曲线y＝f(x)上 　　再令x1＝x0，x2＝－x0 　　∴f(x0－x0)＝f(0)＝f(x0)＋f(－x0)＋2 　　∴f(－x0)＝－4－f(x0)＝－4－y0　　6分 　　∴(－x0，－4－y0)在曲线y＝f(x)上 　　∴f(x)的图象关于点(0，－2)成中心对称图形　　7分 　　(2)设x1＜x2，则x2－x1＞0， 　　∴f(x2－x1)＞－2　　8分 　　∴f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＋2＝f(x2)－4－f(x1)＋2＞－2　　11分 　　∴f(x2)－f(x1)＞0　即f(x2)＞f(x1) 　　∴f(x)在R上是增函数　　12分