Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，短轴长为4，F₁、F₂为椭圆左、右焦点，点B为下顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P（x₀，y₀）是椭圆C上第一象限的点．
①若M为线段BF₁上一点，且满足$\overrightarrow{PO}$=$\sqrt{6}$•$\overrightarrow{OM}$，求直线OP的斜率；
②设点O到直线PF₁、PF₂的距离分别为d₁、d₂，求证：$\frac{{y}_{0}}{{d}_{1}}$+$\frac{{y}_{0}}{{d}_{2}}$为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，短轴长为4，求出a，b，c．即可求椭圆C的标准方程；
（2）①设M（t，-2t-2），由$\overrightarrow{PO}$=$\sqrt{6}$•$\overrightarrow{OM}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\sqrt{6}t}\\{{y}_{0}=2\sqrt{6}（t+1）}\end{array}\right.$，代入椭圆方程得：$\frac{6{t}^{2}}{5}$+6（t+1）²=1，求出M的坐标，即可求直线OP的斜率；
②求出点O到直线PF₁、PF₂的距离分别为d₁、d₂，利用椭圆的定义证明：$\frac{{y}_{0}}{{d}_{1}}$+$\frac{{y}_{0}}{{d}_{2}}$为定值．

解答 解：（1）由题意知，2b=4，∴b=2，又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，且a²=b²+c²，
解得：a=$\sqrt{5}$，c=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；             …4分
（2）①由（1）知：B（0，-2），F₁（-1，0），∴BF₁：y=-2x-2         …5分
设M（t，-2t-2），由$\overrightarrow{PO}$=$\sqrt{6}$•$\overrightarrow{OM}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\sqrt{6}t}\\{{y}_{0}=2\sqrt{6}（t+1）}\end{array}\right.$                …7分
代入椭圆方程得：$\frac{6{t}^{2}}{5}$+6（t+1）²=1，
∴36t²+60t+25=0，∴（6t+5）²=0，∴t=-$\frac{5}{6}$，∴M（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{1}{3}$）     …9分
∴OM的斜率为$\frac{2}{5}$，即直线OP的斜率为$\frac{2}{5}$；                        …10分
②由题意，PF₁：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1），即y₀x-（x₀+1）y+y₀=0             …11分
∴d₁=$\frac{{y}_{0}}{\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}+1）^{2}}}$，同理可得：d₂=$\frac{{y}_{0}}{\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}-1）^{2}}}$
∴$\frac{{y}_{0}}{{d}_{1}}$+$\frac{{y}_{0}}{{d}_{2}}$=PF₁+PF₂=2a=$2\sqrt{5}$…15分

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．