Question

已知函数f(x)=cos2ωx+

3

sinωxcosωx(ω＞0)的最小正周期为π．
（Ⅰ）求f(

2

3

π)的值； 
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角差的正弦公式的应用，化简f（x）的解析式，和周期，即可求出ω，把

2

3

π代入函数解析式即可求得结果；
（II）根据正弦曲线的对称轴，写出函数的对称轴的形式，写出对称轴，根据正弦曲线的增区间，写出函数的增区间．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

2

(1+cos2ωx)+

3

2

sin2ωx
=

1

2

+sin(2ωx+

π

6

)，
因为f（x）最小正周期为π，所以

2π

2ω

=π，解得ω=1，
所以f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
所以f(

2π

3

)=-

1

2

．
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，(k∈Z)，
所以，函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，(k∈Z)；
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，(k∈Z)得x=

k

2

π+

π

6

，(k∈Z)，
所以，f（x）图象的对称轴方程为x=

k

2

π+

π

6

(k∈Z)．

点评：本题考查三角函数的解析式和有关性质，是一个基础题，这种题目是高考卷中每一年都要出现的一种题目，注意题目的开始解析式不要出错．