Question

设平面内两个向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π.

（1）证明：（a+b）⊥（a-b）；

（2）若两个向量ka+b与a-kb的模相等，求

β-α的值（k≠0，k∈R）.

Answer 1

（1）证法1：∵a=（cosα，sinα），

b=（cosβ，sinβ），

∴a+b=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），

a-b=（cosα-cosβ，sinα-sinβ）.

∴（a+b）·（a-b）

=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）

=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β

=1-1=0，

∴（a+b）⊥（a-b）

证法2：（a+b）·（a-b）=a²-b²

=|a|²-|b|²

=（cos²α+sin²α）-（cos²β+sin²β）

=1-1=0，

∴（a+b）⊥（a-b）.

（2）解：∵|ka+b|²=（ka+b）²

=k²a²+2ka·b+b².

而|a-kb|²=a²-2ka·b+k²b²，

又|ka+b|=|a-kb|，

∴k²a²+2ka·b+b²=a²-2ka·b+k²b².

（k²-1）a²+4ka·b+（1-k²）b²=0，

又|a|=|b|=1，

∴4ka·b=0.

∵k≠0，∴a·b=0.

∵a·b=cos（α-β），

∴cos（α-β）=0，cos（β-α）=0.

∴β-α=kπ+，k∈Z.