Question

3．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，求f（x），g（x）的解析式．

Answer 1

分析 将-x代入已知等式，利用函数f（x）、g（x）的奇偶性，得到关于f（x）与g（x）的又一个方程，将二者看做未知数解方程组，解得f（x）和g（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴g（-x）=-g（x），f（-x）=f（x），
令x取-x，代入f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$①，
可得f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{-x-1}$，
即f（x）-g（x）=f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{-x-1}$②，
由①②解得，f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$，g（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质的应用，以及列方程组法求函数的解析式．