Question

已知n为正整数，规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），已知f(x)=

2(1-x)，0≤x≤1 x-1，  1＜x≤2

，
（1）解不等式f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f₃（x）=x．

Answer 1

分析：（1）利用所给分段函数，分别解不等式，再求它们的并集；
（2）由集合A={0，1，2}，x∈A，利用函数迭代式，分别代入，即可证得．

解答：解：（1）当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x有x≥

2

3

，故

2

3

≤x≤1，
当1＜x≤2时，由x-1≤x求得x∈R，故1＜x≤2，
综上讨论可知：

2

3

≤x≤2；
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
在x=0时，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，
同理可求x=1时，f₃（1）=1，x=2，f₃（2）=2，
故x∈A时，恒有f₃（x）=x．

点评：本题考查的重点是对函数表达式的理解，考查分段函数，考查函数的迭代，属于基础题．