Question

已知f（x）=x²-x+k，若log₂f（a）=2且f（log₂a）=k（a＞0且a≠1）．
（1）确定k的值；
（2）求

[f(x)]2+9

f(x)

的最小值及对应的x值．

Answer 1

分析：（1）由log₂f（a）=2且f（log₂a）=k可得关于a的方程，联立方程可求a，进而可求k
（2）由（1）可得f（x）=x²-x+2＞0．代入

[f(x)]2+9

f(x)

=f（x）+

9

f(x)

，利用基本不等式可求f（x）的最小值及取得最小值的x

解答：解：（1）由题设有

log2(a2-a+k)=2① log 2 2 a-log2a+k=k②

，
∴

a2-a+k=4① log2a(log2a-1)=0②

∵a≠1，
∴log₂a≠0，由②得log₂a-1=0，
∴a=2，代入①解得k=2．
（2）∵k=2，
∴f（x）=x²-x+2=（x-

1

2

）²+

7

4

＞0．
∴

[f(x)]2+9

f(x)

=f（x）+

9

f(x)

≥2

f(x)• 9 f(x)

=6．
当且仅当f（x）=

9

f(x)

，即[f（x）]²=9时取等号．
∵f（x）＞0，
∴f（x）=3时取等号．
即x²-x+2=3，解得x=

1± 5

2

．
当x=

1± 5

2

时，

[f(x)]2+9

f(x)

取最小值．

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数解析式及利用基本不等式求解函数的最值，属于基础试题