题目内容
已知函数f（x）=sinx，对于满足0＜x1＜x2＜π的任意 x1，x2，给出下列结论（1）（ x1-x2）[f（ x2）-f（ x1）]＞0；
（2） x1f（ x2）＜x2f（ x1）；
（3）f（ x2）-f（ x1）＜x2-x1；
（4）
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
其中正确的结论为
分析：本题要借助三角函数的图象与性质来研究，对四个命题的形式加以变化变成规范的形式，利用相关的性质判断即可．
对于选项（1）由于（ x1-x2）[f（ x2）-f（ x1）]＞0等价于
＜0故可借助函数的图象得出结论
对于选项（2）由于 x1f（ x2）＜x2f（ x1）等价于
＜
，可借助函数的变化率得出结论
对于选项（3）由于f（ x2）-f（ x1）＜x2-x1等价于
＜1，故可借助函数的图象变化规律得出结论
对于选项（4）
＞f(
)说明函数是一个凸函数，以此来比较函数的单调性即可得出结论．
对于选项（1）由于（ x1-x2）[f（ x2）-f（ x1）]＞0等价于
| f( x 2)-f( x 1) |
| x 2-x 1 |
对于选项（2）由于 x1f（ x2）＜x2f（ x1）等价于
| f( x 2) |
| x 2 |
| f( x 1) |
| x 1 |
对于选项（3）由于f（ x2）-f（ x1）＜x2-x1等价于
| f( x 2)-f( x 1) |
| x 2-x 1 |
对于选项（4）
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
解答：解：函数f（x）=sinx，当自变量在（0，π）上变化时，函数的图象是先升后降，
（1）（ x1-x2）[f（ x2）-f（ x1）]＞0?
＜0，即图象上任意两点连线的斜率小于0，由函数图象的性质知，此结论不成立
（2） x1f（ x2）＜x2f（ x1）?
＜
，此说明函数的变化率随着自变量的增大逐渐变小，与函数的变化率的变化相符，故结论正确；
（3）f（ x2）-f（ x1）＜x2-x1?
＜1，由导数的定义知此函数在所给的区间上导数值恒小于1，符合题意，故结论正确；
（4）
＞f(
)说明函数是一个凸函数，而f（x）=sinx，当自变量在（0，π）上不是凸函数，故此结论不正确
综上（2）、（3）是正确的
故答案为：（2）、（3）
（1）（ x1-x2）[f（ x2）-f（ x1）]＞0?
| f( x 2)-f( x 1) |
| x 2-x 1 |
（2） x1f（ x2）＜x2f（ x1）?
| f( x 2) |
| x 2 |
| f( x 1) |
| x 1 |
（3）f（ x2）-f（ x1）＜x2-x1?
| f( x 2)-f( x 1) |
| x 2-x 1 |
（4）
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
综上（2）、（3）是正确的
故答案为：（2）、（3）
点评：本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数的单调性，用正弦函数的导数来判断其单调性，知识性较强．
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