Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA=

1

2

，cosB=

3 10

10

．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC最长的边为1，求b边及△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得tanB=

1

3

，利用同角三角函数间的基本关系与两角和的正切即可求得tanC的值；
（2）利用正弦定理可求得b，再利用三角形的面积公式即可求得答案．

解答：解：（1）∵在△ABC中，tanA=

1

2

，cosB=

3 10

10

，
∴tanB=

1

3

，又A+B+C=π，
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

1 2 + 1 3

1- 1 2 • 1 3

=-1；
（2）由（1）知tanC=-1，∴最长的边为c，即c=1且C=

3π

4

，
∴sinC=

2

2

，
又cosB=

3 10

10

，tanA=

1

2

，
∴sinB=

10

10

，sinA=

5

5

，
由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

，
∴b=c•

sinB

sinC

=1×

10 10

2 2

=

5

5

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

5

5

×1×

5

5

=

1

10

．

点评：本题考查正弦定理的应用，考查同角三角函数间的基本关系，考查分析与运算能力，属于中档题．