Question

{a，b}?{0，1，2，3，5}，由ax+by=0确定直线和（x+2）²+（y-1）²=1相交的概率为

2

5

．

Answer 1

分析：如图所示，由题意得直线的斜率为-

a

b

，直线是必过原点的，先求出OB的斜率为-

4

3

，OA的斜率为0，直线和圆相交等价于0＞-

a

b

＞-

4

3

，即

4

3

＞

a

b

＞0，所有（a，b） 的取法共25种，其中满足0＞-

a

b

＞-

4

3

，即

4

3

＞

a

b

＞0的取法，有10种，
由此求得所求事件的概率．

解答：解：如图所示：由题意得直线的斜率为-

a

b

，直线是必过原点的，
根据圆心C（-2，1）到直线OB：y=kx 的距离等于半径1可得
1=

|-2k-1|

k2+1

，解得k=-

4

3

 或0．
故当 0＞-

a

b

＞-

4

3

时，圆心到直线的距离小于半径，
此时，直线ax+by=0 和圆（x+2）²+（y-1）²=1相交．
即当 0＜

a

b

＜

4

3

 时，ax+by=0 和（x+2）²+（y-1）²=1相交．
由于（a，b）的所有取法共有5×5=25种，
其中，满足0＞-

a

b

＞-

4

3

，即

4

3

＞

a

b

＞0的取法（a，b） 有：
（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，5）、
（2，2）、（2，3）、（2，5）、（3，3）、（3，5），（5，5），共10种，
故所求事件的概率为：

10

25

=

2

5

，
故答案为：

2

5

．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合和等价转化的数学思想，
注意不能包括直线和圆相切的情况，属于中档题．