Question

【题目】如果函数的定义域为，对于定义域内的任意存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”.

（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，写出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由.

（2）设函数具有“性质”，且当时，，求当时函数的解析式；若与交点个数为1001个，求的值.

Answer 1

【答案】（1），理由见解析（2），；.

【解析】

（1）根据题意先检验是否成立即可检验是否具有“（a）性质（2）由题意可得，，据此递推关系可推断函数的周期，根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的，以及的解析式.

（1）由得，

根据诱导公式得．

具有“（a）性质”，其中．

（2）具有“性质”，

，，

，

从而得到是以2为周期的函数．

又，则，

．

再设，

当，则，则，

；

当，则，则

；

，；.

对于，，都有，而，

，

是周期为1的函数．

①当时，要使与有1001个交点，只要与在，有1000个交点，而在，有一个交点．

过，，从而得

②当时，同理可得

③当时，不合题意．

综上所述