Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(-

3

 ， 0)，(

3

， 0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(-

3

 ， 0)，(

3

， 0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，由此能求出曲线C的方程．
（2）存在△AOB面积的最大值．由直线l过点E（-1，0），设直线l的方程为 x=my-1，由

x2 4 +y2=1 x=my-1.

，得（m²+4）y²-2my-3=0．由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．解得y1=

m+2 m2+3

m2+4

，由此能求出S_△AOB的最大值．

解答：（共13分）
解：（1）由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以(-

3

 ， 0)，(

3

， 0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．…（3分）
故曲线C的方程为

x2

4

+y2=1． …（5分）
（2）存在△AOB面积的最大值．…（6分）
因为直线l过点E（-1，0），设直线l的方程为 x=my-1或y=0（舍）．
则

x2 4 +y2=1 x=my-1.

整理得 （m²+4）y²-2my-3=0．…（7分）
由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
解得y1=

m+2 m2+3

m2+4

，y2=

m-2 m2+3

m2+4

．
则 |y2-y1|=

4 m2+3

m2+4

．
因为S△AOB=

1

2

|OE|•|y1-y2|
=

2 m2+3

m2+4

=

2

m2+3 + 1 m2+3

． …（10分）
设g(t)=t+

1

t

，t=

m2+3

，t≥

3

．
则g（t）在区间[

3

，+∞)上为增函数．
所以g(t)≥

4 3

3

．
所以S△AOB≤

3

2

，
当且仅当m=0时取等号，即(S△AOB)max=

3

2

．
所以S_△AOB的最大值为

3

2

．…（13分）

点评：本题考查曲线的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．