Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

mx2+nx，x∈R．
（1）若g（x）是f（x）的导函数，且g（x）满足：对于任意x∈R都有g(-

1

2

+x)=g(-

1

2

-x)，且g（x）≥2x，求n的取值范围．
（2）当n=0，且m＜0时，求f（x）在区间[-1，1]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）g（x）=x²+mx+n，x=-

1

2

是g（x）的对称轴，从而m=1，由此能求出n的取值范围．
（2）当n=0，且m＜0时，f(x)=

1

3

x3+

1

2

mx2，则f'（x）=x²+mx=x（x+m），由此能求出f（x）在区间[-1，1]上的最大值．

解答： 解：（1）g（x）=x²+mx+n，…（1分）
∵对于任意x∈R都有g(-

1

2

+x)=g(-

1

2

-x)，
∴x=-

1

2

是g（x）的对称轴，即-

m

2

=-

1

2

，…（2分）
∴m=1…（3分）
∵对于任意x∈R都有g（x）≥2x，即对于任意x∈R都有x²-x+n≥0…（4分）
∴△=（-1）²-4n≤0…（5分）
∴n≥

1

4

…（6分）
（2）当n=0，且m＜0时，f(x)=

1

3

x3+

1

2

mx2，x∈R．
则f'（x）=x²+mx=x（x+m），
令f′（x）=0，得x=0或x=-m．  …（7分）
①若-m≥1，即m≤-1，
当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，…（8分）
所以f（x）的最大值为f（0）=0；…（9分）
②若0＜-m＜1，即-1＜m＜0，
当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（0，-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（-m，1）时，f'（x）＞0；f（x）为增函数．…（11分）
又f(0)=0，f(1)=

1

3

+

1

2

m而由

1

3

+

1

2

m＞0得m＞-

2

3

所以，当-

2

3

＜m＜0时，f（x）的最大值为f(1)=

1

3

+

1

2

m；
当m=-

2

3

时，f（x）的最大值为f（0）=f（1）=0；
当-1＜m＜-

2

3

时，f（x）的最大值为f（0）=0．…（13分）
综上，f（x）在区间[-1，1]上的最大值为：
f(x)max=

0，m≤- 2 3 1 3 + 1 2 m，- 2 3 ＜m＜0

．…（14分）

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．