题目内容
已知函数f(x)=2x+
的定义域为（0，2]（a为常数）．
（1）证明：当a≥8时，函数y=f（x）在定义域上是减函数；
（2）求函数y=f（x）在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．
| a |
| x |
（1）证明：当a≥8时，函数y=f（x）在定义域上是减函数；
（2）求函数y=f（x）在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．
（1）x1＜x2，x1，x2∈（0，2]f(x1)-f(x2)=
因为x1＜x2，x1，x2∈（0，2]
所以x1-x2＜0，2x1x2＜8≤a，2x1x2-a＜0f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2）
所以f（x）是减函数
（2）①当a=0，f（x）=x，f（x）是增函数
所以x=2，max=f(2)=4+
，无最小值
②当a＜0时，f（x）是增函数
所以x=2，fmax=f(2)=4+
，无最小值
③当a＞0且
≤2即0＜a≤8时，所以x=
，min=2
，无最大值
④当a＞0且
＞2即a＞8时
所以x=2，min=4+
，无最大值
| (x1-x2)(2x1x2-a) |
| x1x2 |
因为x1＜x2，x1，x2∈（0，2]
所以x1-x2＜0，2x1x2＜8≤a，2x1x2-a＜0f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2）
所以f（x）是减函数
（2）①当a=0，f（x）=x，f（x）是增函数
所以x=2，max=f(2)=4+
| a |
| 2 |
②当a＜0时，f（x）是增函数
所以x=2，fmax=f(2)=4+
| a |
| 2 |
③当a＞0且
|
|
| 2a |
④当a＞0且
|
所以x=2，min=4+
| a |
| 2 |
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