Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（1-a^x）．
（1）求函数f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；
（2）若n∈N^*，求

lim

n→∞

af(n)

an+a

；
（3）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1-e^f（x））（x²-m+1）．若函数的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值．

Answer 1

（1）由题意知，1-a^x＞0
所以当0＜a＜1时，f（x）的定义域是（0，∞），a＞1时，f（x）的定义域是（-∞，0），
f′（x）=

-axlna

1-ax

•lo

g

ea

=

ax

ax-1

当0＜a＜1时，x∈（0，∞），因为a^x-1＜0，a^x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是减函数．
当a＞1时，x∈（-∞，0），因为a^x-1＜0，a^x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是减函数．
（2）因为f（n）=log_a（1-aⁿ），所以a^f（n）=1-aⁿ，由函数定义域知1-aⁿ＞0，因为n是正整数，故0＜a＜1，
所以

lim

n→∞

af(n)

an+a

=

lim

n→∞

1-an

an+a

=

1

a

．

（3）h（x）=e^x（x²-m+1）（x＜0），所以h'（x）=e^x（x²+2x-m+1），令h'（x）=0，即x²+2x-m+1=0，由题意应有△≥0，即m≥0．
①当m=0时，h'（x）=0有实根x=-1，在x=-1点左右两侧均有h'（x）＞0，故h（x）无极值．
②当0＜m＜1时，h'（x）=0有两个实根x1=-1-

m

，x2=-1+

m

．当x变化时，h'（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，0）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴h（x）的极大值为2e-1-

m

(1+

m

)，h（x）的极小值为2e-1+

m

(1-

m

)．
③当m≥1时，h'（x）=0在定义域内有一个实根x=-1-

m

．
同上可得h（x）的极大值为2e-1-

m

(1+

m

)．
综上所述，m∈（0，+∞）时，函数h（x）有极值．
当0＜m＜1时，h（x）的极大值为2e-1-

m

(1+

m

)，h（x）的极小值为2e-1+

m

(1-

m

)．
当m≥1时，h（x）的极大值为2e-1-

m

(1+

m

)．