题目内容

已知定义在R上的单调函数f(x)，存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立．

(Ⅰ)求x0的值；

(Ⅱ)若f(x0)=1，且对任意正整数n，有an=,bn=f()+1，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,比较Sn与Tn的大小关系，并给出证明．

解：(Ⅰ)令x1=x2=0得f(0)=f(x0)+2f(0)，

 ∴f(x0)=-f(0)．        ①

令x1=1，x2=0，得f(x0)=f(x0)+f(1)+f(0)，

∴f(1)=-f(0)．          ②

由①②得f(x0)=f(1)．

∵f(x)为单调函数，∴x0=1．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+f(1)=f(x1)+f(x2)+1，

∵f(n+1)=f(n)+f(1)+1=f(n)+2，f(1)=1，∴f(n)=2n-1．(n∈Z+)

∴an=.

又∵f（1）=f（+）=f（）+f（）+f（1）

∴f（）=0，b1=f（）+1.

又∵

∴2bn+1=2f()+2=f()+1=bn.

∴bn=()n-1.

∴Sn=

Tn=

=

∴

∵4n=(3+1)n=3n+3n-1+…+3+≥3n+1＞2n+1,

∴

∴


练习册系列答案
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15、已知定义在R上的单调函数f（x）满足：存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立，则（i）f（1）+f（0）=
0
（ii）x0的值为
1
．
已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且对任意正整数n，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，求Sn和Tn；
（3）若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
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1
2
(x+1)-log
1
2
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1
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1
2
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1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，试比较Sn与
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3
Tn的大小，并加以证明；
③当a＞1时，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
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