Question

12．若方程|x-2|•（x+1）=k有三个不同的解，则常数k的取值范围为0＜k＜$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，结合一元二次函数的图象和性质是解决本题的关键．

解答 解：设f（x）=|x-2|•（x+1），
则当x≥2时，f（x）=（x-2）•（x+1）=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$≥0，
当x＜2时，f（x）=-（x-2）•（x+1）=-=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$≤$\frac{9}{4}$，
作出函数f（x）的图象如图：
若方程|x-2|•（x+1）=k有三个不同的解，
则0＜k＜$\frac{9}{4}$，
故答案为：0＜k＜$\frac{9}{4}$

点评 本题主要考查方程根的个数的应用，利用函数和方程之间的关系进行转化，结合数形结合是解决本题的关键．