Question

已知动圆P过点N（2，0）并且与圆M：(x+2）²+y²=4相外切，动圆圆心P的轨迹为W，过点N的直线与轨迹W交于A、B两点。
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）若，求直线的方程；
（Ⅲ）对于的任意一确定的位置，在直线x=上是否存在一点Q，使得，并说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意可知，
∴，
∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支，
设其方程为，
则a=1，c=2，∴，
∴轨迹W的方程为。
（Ⅱ）当的斜率不存在时，显然不满足，故的斜率存在，
设的方程为，
由得，
又设，
则，
由①②③，解得：，
∵，
∴，
∴，
代入①②，得，，
消去x₁，得，即，
故所求直线的方程为。
 （Ⅲ）问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线x=有公共点，若直线的斜率不存在，则以AB为直径的圆为，可知其与直线x=相交；
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，，
由（Ⅱ）知且，
又N（2，0）为双曲线的右焦点，双曲线的离心率e=2，
则，
设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径x=的距离为d，则
，
∴，
∵，
∴，即，即直线与圆S相交，
综上所述，以线段AB为直径的圆与直线相交；
故对于的任意一确定的位置，在直线上存在一点Q（实际上存在两点）使得。