Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若椭圆上存在点P，使得c•PF₂=a•PF₁则该椭圆离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由椭圆的定义可得 e（x+

a2

c

）=e•e（

a2

c

-x），解得x=

c-a

e(e+1)

，由题意可得-a≤

c-a

e(e+1)

≤a，解不等式求得离心率e的取值范围．

解答：解：设点P的横坐标为x，∵c•PF₂=a•PF₁ 即|PF₁|=e|PF₂|，则由椭圆的定义可得 e（x+

a2

c

）=e•e（

a2

c

-x），
∴x=

c-a

e(e+1)

，由题意可得-a≤

c-a

e(e+1)

≤a，∴-1≤

e-1

e(e+1)

≤1，
∴

e-1 ≥-e2- e e-1 ≤e2+ e

，∴

2

-1≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[

2

-1，1），
故答案为：[

2

-1，1）．

点评：本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得 e（x+

a2

c

）=e•e（

a2

c

-x），是解题的关键．．