Question

定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R，都有f′(x)＜

1

2

，则不等式f(x2)＞

x2+1

2

的解集为

（-1，1）

．

Answer 1

分析：构造函数g(x)=f(x)-

x+1

2

，求出g（1），求出g（x）的导函数，确定其单调性，由单调性列式求解．

解答：解：设g(x)=f(x)-

x+1

2

，g（1）=f（1）-

1+1

2

=1-1=0
则g′(x)=f′(x)-

1

2

．
∵对任意x∈R，都有f′(x)＜

1

2

，
∴g′（x）＜0，即g（x）为实数集上的减函数．
不等式f(x2)＞

x2+1

2

即为g（x²）＞0=g（1）．
则x²＜1，解得-1＜x＜1．
∴不等式f(x2)＞

x2+1

2

的解集为（-1，1）．
故答案为（-1，1）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答的关键是正确构造出辅助函数，是中档题．