题目内容
已知函数
，且函数f（x）为奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
解：（1）∵f（-x）=-f（x），即
=-
，
+=0?（a+1）（2x+1）=0?a=-1．
（2）任取x1、x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=
-
=
，
∵x1＜x2，∴2X1＜
，
又∵2X1+1＞0，+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
分析：（1）由函数f（x）为奇函数得到f（-x）=-f（x），建立关于x的恒等式，利用系数为0即可得a的范围．
（2）先设自变量值，任取x1、x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，然后通过作差比较f（x1）与f（x2）的大小，即得函数的单调性．
点评：本题考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的判断，定义是解决问题的根本，是个中档题．
=-，+=0?（a+1）（2x+1）=0?a=-1．（2）任取x1、x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=
-=，∵x1＜x2，∴2X1＜
，又∵2X1+1＞0，
+1＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
分析：（1）由函数f（x）为奇函数得到f（-x）=-f（x），建立关于x的恒等式，利用系数为0即可得a的范围．
（2）先设自变量值，任取x1、x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，然后通过作差比较f（x1）与f（x2）的大小，即得函数的单调性．
点评：本题考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的判断，定义是解决问题的根本，是个中档题．
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