Question

设存在实数 x∈(

1

2

，3)，使不等式 t+|

1

x

-x|＞e|lnx|成立，则实数t的取值范围为

t＞

1

3

．

Answer 1

分析：考虑关键点x=1处，分为以下两端：①x∈（

1

2

，1]时，t＞

1

2

；②x∈（1，3]时，t≥

1

3

，综上所述，t＞

1

3

．

解答：解：考虑关键点x=1处，分为以下两端：
①x∈（

1

2

，1]时，

1

x

-x≥0，lnx≤0，
于是t+

1

x

-x＞e^-lnx，
即 t＞-

1

x

+x+

1

x

=x＞

1

2

，此时t＞

1

2

．
②x∈（1，3]时，

1

x

-x＜0； lnx＞0，
于是t-

1

x

+x＞e^lnx，
即 t＞

1

x

-x+x=

1

x

≥

1

3

，此时t≥

1

3

，
综上所述，t＞

1

2

．
故答案为：t＞

1

3

．

点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．