题目内容

已知双曲线 $数学公式$ （a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，则该双曲线的离心率等于________．

$\text{[math]}$
分析：求出双曲线的渐近线方程，函数y=x³+2，求导函数，再设切点坐标，利用双曲线 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，建立方程组，即可求得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率．
解答：双曲线的渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，函数y=x³+2，求导函数可得y=3x²，
设切点坐标为（m，n），则
∵双曲线 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，
∴ $\text{[math]}$ ，∴m=1， $\text{[math]}$ =3，∴b=3a，
∴c²=a²+b²=10a²，∴ $\text{[math]}$
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查直线与曲线相切，考查双曲线的几何性质，正确运用双曲线 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切是关键．

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