Question

【题目】设f（x）=ln（1+x）﹣x﹣ax2 ．
（1）当x=1时，f（x）取到极值，求a的值；
（2）当a满足什么条件时，f（x）在区间 上有单调递增的区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知f（x）的定义域为（﹣1，+∞），

且f′（x）= ﹣1﹣2ax= ，

当x=1时，f（x）取到极值，∴f′（1）=0，解得a=﹣ ；

当a=﹣ 时，f′（x）= 在（0，1）上小于0，f（x）是减函数，

f′（x）= 在（1，+∞）上大于0，f（x）是增函数，

∴f（1）是函数的极小值，∴a的值为﹣ ；

（2）解：要使f（x）在区间[ ，﹣ ]上有单调递增的区间，

即f′（x）＞0在[﹣ ，﹣ ]上有解，∴2ax+（2a+1）＞0；

（i）当a=0是，有1＞0，上述不等式恒成立，∴a=0满足条件；

（ii）当a＞0时，有x＞﹣ ，此时只要﹣ ＜﹣ ，解得：a＞﹣ ，∴取a＞0；

（iii）当a＜0时，有x＜﹣ ，此时只要﹣ ＞﹣ ，解得：a＞﹣1，∴取﹣1＜a＜0；

综上，a满足的条件是：a∈（﹣1，+∞）

【解析】（1）当x=1时，f（x）取到极值，即f′（1）=0，解得a的值；（2）f（x）在区间[ ，﹣ ]上有单调递增的区间，即f′（x）＞0时在[﹣ ，﹣ ]上有解，解含参数的不等式．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．