Question

数列{a_n}和数列{b_n}（n∈N^*）由下列条件确定：
（1）a₁＜0，b₁＞0；
（2）当k≥2时，a_k与b_k满足如下条件：当≥0时，a_k=a_k-1，b_k=；当＜0时，a_k=，b_k=b_k-1．
解答下列问题：
（Ⅰ）证明数列{a_k-b_k}是等比数列；
（Ⅱ）记数列{n（b_k-a_n）}的前n项和为S_n，若已知当a＞1时，=0，求．
（Ⅲ）m（n≥2）是满足b₁＞b₂＞…＞b_n的最大整数时，用a₁，b₁表示n满足的条件．

Answer 1

解：（Ⅰ）当≥0时，b_k-a_k=-a_k-1=（b_k-1a_k-1），
当＜0时，b_k-a_k=b_k-1-=（b_k-1a_k-1），
所以不论哪种情况，都有b_k-a_k=（b_k-1a_k-1），又显然b₁-a₁＞0，故数列{a_k-b_k}是等比数列（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n-a_n=（b₁-a₁）=，故n（b_n-a_n）=（b₁-a₁）•，
S_n=（b₁-a₁）（1+++…++），所以S_n=（b₁-a₁）（1++…++），
所以S_n=（b₁-a₁）（1+++…++），S_n=（b₁-a₁）[4（1-）-]（7分）
又当a＞1时=0，S_n=4（b₁-a₁）．（8分）

（Ⅲ）当b₁＞b₂＞…＞b_n（n≥2）时，b_k≠b_k-1（2≤k≤n），由（2）知＜0不成立，
故≥0，从而对于2≤k≤n，有a_k=a_k-1，b_k=，于是a_n=a_n-1=…=a₁，
故b_n=a₁+（b₁-a₁）（10分）
={a₁+[a₁+（b₁-a₁）]}若≥0，则b_n+1=，
b_n+1-b_n={a₁+（b₁-a₁）}-{a₁+（b₁-a₁）}=-（b₁-a₁）＜0，
所以b_n+1＜b_n=，这与n是满足b₁＞b₂＞…＞b_n（n≥2）的最大整数矛盾．
因此n是满足＜0的最小整数．（12分）
而＜0?＜2ⁿ?log₂＜n，
因而n是满足log₂＜n的最小整数．（14分）
分析：（Ⅰ）分情况讨论，并分别做差a_k-b_k，从而可证明等比数列．
（Ⅱ）利用第一问的结论：数列{a_k-b_k}是等比数列，求出数列{n（b_n-a_n）}的前n项和为S_n，再求极限得解．
（Ⅲ）如果n（n≥2）是满足b₁＞b₂＞…＞b_n的最大整数，利用已知条件，从而推出b_n通项．再利用b_n的性质推出因此n是满足＜0的最小整数．进而可推得n满足的条件（用a₁，b₁表示）．
点评：本题是等比数列的综合题，考查等比数列证明，极限求法，不等式等有关知识，要求能力比较高，值得好好研究学习．