题目内容
已知数列{an}满足a1=1，点（an•an+1）在直线y=2x+1上，数列{bn}满足b1=a1，| bn |
| an |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
（1）求bn+1an-（bn+1）an+1的值；
（2）求证：(1+b1)(1+b2)•…•(1+bn)＜
| 10 |
| 3 |
分析：（1）把点（an•an+1）代入直线方程求得数列的递推式，整理得an+1+1=2（an+1），判断出{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，进而根据等比数列的通项公式求得an．同时根据
=
+
+••+
(n≥2)求得
=
+
+••+
+
，进而判断出
=
+
整理得bn+1an-（bn+1）an+1=0，进而看当n=1时b2a1-（b1+1）a2=-3．，综合可得答案．
（2）根据（1）可知
=
(n≥2)进而求得(1+
)(1+
)••(1+
)=2(
+
+…+
)，先看当k≥2时求得
-
=
＜
，进而可知(1+
)(1+
)••(1+bn)＜
b1b2••bn.进而再看n=1时不等式也成立．原式得证．
| bn |
| an |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
| bn+1 |
| an+1 |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| an |
| bn+1 |
| an+1 |
| bn |
| an |
| 1 |
| an |
（2）根据（1）可知
| bn+1 |
| bn+1 |
| an |
| an+1 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| ak |
| 1 |
| 2k-1 |
| 2k+1-1 |
| (2k-1)(2k+1-1) |
| 2k+1 |
| (2k-1)(2k+1-1) |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 10 |
| 3 |
解答：解：（1）∵点（an，an+1）在直线y=2x+1上，∴an+1=2an+1∴an+1+1=2（an+1），
即（an+1）是以2为首项，2为公比的等比数列∴an=2n-1
又
=
+
+…+
(n≥2)
∴
=
+
+…+
+
∴
=
+
∴bn+1an-（bn+1）an+1=0（n≥2）
当n=1时，b1=a1=1，b2=a2=3
则b2a1-（b1+1）a2=-3．
（2）由（1）知
=
(n≥2)，b2=a2
∴(1+
)(1+
)••(1+
)=
•
••
=
•
•
••
•
•bn+1=
•
•
•
••
•
•bn+1=2•
=2(
+
+…+
)．
∵k≥2时，
-
=
＜
=2(
-
)
∴
+
+…+
=1+
+••+
＜1+2[(
-
)+••+(
-
)]=1+2(
-
)＜
∴(1+
)(1+
)••(1+bn)＜
b1b2••bn.
另证：当n≥2时2n-2≥1（仅当n=2取等号）
∴2n-1≥3•2n-2，即
-
≤
•
(n≥2)
∴当n≥2时，
+
+…+
≤1+
(1+
+…+
)=1+
•
=
-
＜
而n=1显然成立
∴(1+
)(1+
)••(1+
)＜
即(1+b1)(1+b2)••(1+bn)＜
b1b2••bn.
即（an+1）是以2为首项，2为公比的等比数列∴an=2n-1
又
| bn |
| an |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
∴
| bn+1 |
| an+1 |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| an |
∴
| bn+1 |
| an+1 |
| bn |
| an |
| 1 |
| an |
∴bn+1an-（bn+1）an+1=0（n≥2）
当n=1时，b1=a1=1，b2=a2=3
则b2a1-（b1+1）a2=-3．
（2）由（1）知
| bn+1 |
| bn+1 |
| an |
| an+1 |
∴(1+
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| b1+1 |
| b1 |
| b2+1 |
| b2 |
| bn+1 |
| bn |
| 1 |
| b1 |
| b1+1 |
| b2 |
| b2+1 |
| b3 |
| bn-1 |
| bn |
| bn+1 |
| bn+1 |
| 1 |
| b1 |
| b1+1 |
| b2 |
| a2 |
| a3 |
| a3 |
| a4 |
| an-1 |
| an |
| an |
| an+1 |
| bn+1 |
| an+1 |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
∵k≥2时，
| 1 |
| ak |
| 1 |
| 2k-1 |
| 2k+1-1 |
| (2k-1)(2k+1-1) |
| 2k+1 |
| (2k-1)(2k+1-1) |
| 1 |
| 2k-1 |
| 1 |
| 2k+1-1 |
∴
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 22-1 |
| 1 |
| 23-1 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1-1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n+1-1 |
| 5 |
| 3 |
∴(1+
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 10 |
| 3 |
另证：当n≥2时2n-2≥1（仅当n=2取等号）
∴2n-1≥3•2n-2，即
| 1 |
| an |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n-2 |
∴当n≥2时，
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-2 |
| 1 |
| 3 |
1-
| ||
1-
|
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| 2n-2 |
| 5 |
| 3 |
而n=1显然成立
∴(1+
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| 10 |
| 3 |
即(1+b1)(1+b2)••(1+bn)＜
| 10 |
| 3 |
点评：本题主要考查了不等式和数列的综合，数列通项公式的确定，考查了学生综合运用不等式和数列知识解决问题的能力．
练习册系列答案
举一反三期末百分冲刺卷系列答案
相关题目