Question

已知函数f(x)=|x-

1

2

|-|2x-8|
（1）解不等式f（x）＞1；
（2）求函数y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）通过对x的范围分类讨论，化简不等式分别求出解集，然后求出并集即可．
（2）通过判断函数的单调性，直接求出函数的最大值，即可．

解答：解：（1）当x＜

1

2

时，f（x）＞1，即

1

2

-x-8+2x＞1，∴x＞

17

2

，此时无解．
当x∈[

1

2

，4)时，f（x）＞1，可得x-

1

2

-8+2x＞1解得x＞

19

6

，所以4＞x＞

19

6

．
当x≥4时，f（x）＞1，可得x-

1

2

+8-2x＞1，解得x＜

13

2

，所以4≤x＜

13

2

，
综上不等式的交集为：(

19

6

，

13

2

)．
（2）f（x）=

x- 15 2     x＜ 1 2 3x- 17 2     x∈[ 1 2 ，4) 15 2 -x     x≥4

函数在x≤4时是增函数，x≥4时是减函数，函数y=f（x）的最大值为：

7

2

．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论思想的应用，函数的单调性的应用，考查计算能力．